解题过程#

第一步：解方程组求 ( y ) 和 ( z )#

将方程 (1) 和方程 (2) 相加：

将方程 (1) 减去方程 (2)：

因此，我们得到：

第二步：比较 ( x, y, z ) 的大小#

1. 比较 ( y ) 和 ( x )

   $$y - x = (x^2 - x + 2) - x = x^2 - 2x + 2$$

   判断 ( x^2 - 2x + 2 ) 的符号：

   • 判别式 ( \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 < 0 )
   • 二次项系数为正，且 ( \Delta < 0 )，故 ( x^2 - 2x + 2 > 0 ) 对所有实数 ( x ) 成立。
   • 因此，( y > x )。

2. 比较 ( z ) 和 ( x )

   $$z - x = (2x^2 - 3x + 3) - x = 2x^2 - 4x + 3$$

   判断 ( 2x^2 - 4x + 3 ) 的符号：

   • 判别式 ( \Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 16 - 24 = -8 < 0 )
   • 二次项系数为正，且 ( \Delta < 0 )，故 ( 2x^2 - 4x + 3 > 0 ) 对所有实数 ( x ) 成立。
   • 因此，( z > x )。

3. 比较 ( z ) 和 ( y )

   $$z - y = (2x^2 - 3x + 3) - (x^2 - x + 2) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$$
   • 对于所有实数 ( x )，( (x - 1)^2 \geq 0 )，当且仅当 ( x = 1 ) 时取等号。
   • 因此：
     • 当 ( x \neq 1 ) 时，( z > y )；
     • 当 ( x = 1 ) 时，( z = y )。

第三步：总结大小关系#

综合以上分析：

• 对于所有实数 ( x )，有 ( y > x ) 和 ( z > x )。
• 对于 ( z ) 和 ( y )：
  • 当 ( x \neq 1 ) 时，( z > y > x )；
  • 当 ( x = 1 ) 时，( z = y > x )。

因此，一般可以表示为：

验证示例#

1. 当 ( x = 0 )

   $$y = 0^2 - 0 + 2 = 2, \quad z = 2 \times 0^2 - 3 \times 0 + 3 = 3$$ $$3 > 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad z > y > x$$

2. 当 ( x = 1 )

   $$y = 1^2 - 1 + 2 = 2, \quad z = 2 \times 1^2 - 3 \times 1 + 3 = 2$$ $$2 = 2 > 1 \quad \Rightarrow \quad z = y > x$$

3. 当 ( x = 2 )

   $$y = 2^2 - 2 + 2 = 4, \quad z = 2 \times 2^2 - 3 \times 2 + 3 = 5$$ $$5 > 4 > 2 \quad \Rightarrow \quad z > y > x$$

验证结果与结论一致。

最终结论#

对于所有实数 ( x )，( y )，( z ) 满足给定方程时，它们的大小关系为：

即：

• ( y ) 总是大于 ( x )；
• ( z ) 大于或等于 ( y )（当且仅当 ( x = 1 ) 时，( z = y )）。